Родился в станице Черноерковской Славянского района Краснодарского края. Когда в 1941 году началась Великая Отечественная война, ему ещё не исполнилось и 17 лет. Парень трудился учеником в рыболовецкой бригаде на Азовском море.
С наступлением противника в южном направлении всех юношей, в том числе и Алексея Слабого, вызвали в военкомат и отправили в сторону Черноморского побережья. Но пока колонна пешком преодолевала долгий путь, обстановка на фронте резко ухудшилась и новобранцев отпустили, велев скрытно возвращаться по домам.
В 1943 году станицу Черноерковскую освободили от немецких оккупантов, и Алексея призвали в Красную Армию. По окончании краткосрочных курсов он попал на фронт в стрелковую часть и в первом же бою был ранен.
После госпиталя был определён в 28-й отдельный истребительный противотанковый дивизион, на вооружении которого сначала были 45-миллиметровые пушки, впоследствии заменённые на 76-миллиметровые.
Бил фашистов в Крыму. Получил лёгкое ранение, после которого вернулся в свою часть. Освобождал Севастополь. Там же был тяжело ранен.
После длительного лечения до конца войны, а затем до 1946 года служил во внутренних войсках МВД, охранял военнопленных.
За боевые заслуги А.А. Слабый награждён двумя орденами Красной Звезды и орденом Отечественной войны II степени, а также многими медалями.
В мирное время Алексей Андреевич 20 лет трудился механиком на рыболовецких судах в Новороссийске, затем на научно-изыскательских судах. В Туапсе переехал в 1974 году.
Вместе с супругой, Валентиной Лукьяновной, воспитали дочь. В настоящее время у супругов трое внуков.
